Kompetenceorienteret matematikundervisning

Hvordan kan man arbejde med de matematiske kompetencer?

Tomas Højgaard

Tomas Højgaard er kendt hos EMU, hvor han b.la. har beskrevet sit bidrag til hvordan man kan arbejde med de matematiske kompetencer i Faghæftet matematik.

Artiklen er udarbejdet på baggrund af Tomas Højgaards PhD. afhandling

Hvordan kan man planlægge, tilrettelægge og gennemføre kompetenceorienteret matematikundervisning, sådan at matematiske kompetencemål bliver både meningsbærende og undervisningsbare? 

Uddrag af Tomas Højgaards PhD. afhandling

Kompetenceorienteret matematikundervisning

Billede af de 8 matematiske kompetence udgør kompetenceblomsten

Kompetenceblomsten med de otte matematiske kompetencer i Niss og Jensen (2002).

Problemløsning og brugen af matematik

“Problemløsning betegner simpelthen den proces hvorigennem man forsøger
at løse et problem.
Det helt centrale ved denne proces er at den – som “komplementærmængden” til arbejde med øvelser – er karakteriseret ved nødvendigheden
af bevidste eller ubevidste metodemæssige overvejelser. Hvad det nærmere kan siges at bestå i i forhold til matematisk problemløsning, og hvilke udfordringer det i øvrigt giver at skulle gennemføre en problemløsningsproces, vender jeg tilbage til i kapitel 10. Her skal jeg kun bruge påpegningen vedrørende det metodemæssige til en begrebsmæssig præcisering:

For at tale om matematisk problemløsning vil jeg kræve, at de metodemæssige overvejelser involverer visse matematiske begreber, metoder og resultater (jf. definitionen af rene og anvendelsesorienterede matematiske opgaver på side 106). Det er med andre ord ikke matematisk problemløsning, hvis matematikken først kommer på banen på det tidspunkt i
processen hvor det i givet fald er lykkedes en at reducere problemet til en
rutinemæssig øvelse. En vigtig undervisningsmæssig konsekvens heraf er, at man ikke kan nøjes med en simpel iagttagelse af om der optræder matematik i besvarelsen af en opgave, for at kunne afgøre om der har været tale om matematisk problemløsning. Man er nødt til at gå dybere ned i besvarelsen og arbejdsprocessen bag den for at afgøre karakteren af den måde, matematik er brugt på.” 

Matematisk modellerings- og problembehandlingskompetence

Matematisk modellerings- og problembehandlingskompetence

“Som en naturlig kombination af forståelsen af begreberne “matematisk modellering” og “kompetence” bruger jeg – i forlængelse af fremstillingen i Niss & Jensen (jf. 2002, p. 52f) – matematisk modelleringskompetence som betegnelse for nogens indsigtsfulde parathed til selv at gennemføre alle dele af en matematisk modelleringsproces og til at forholde sig kritisk
undersøgende til andres ageren i den henseende.
Ved at kombinere forståelsen af “matematisk problemløsning” og “kompetence” med et ønske om også at indfange det at formulere problemer (Ibid., p. 49f) kan jeg definere matematisk problembehandlingskompetence som nogens indsigtsfulde parathed til selv at formulere og løse såvel rene som anvendelsesorienterede matematiske problemer og til at forholde sig
kritisk undersøgende til andres ageren i den henseende.
Som det fremgår har begge kompetencer både en “undersøgende” side, hvor forståelse og kritisk bedømmelse af allerede udførte processer er i fokus, og en “produktiv” side, hvor fokus er på selv at kunne gennemføre den type processer som kompetencen stiller skarpt på (jf. Niss & Jensen;
2002, p. 63f). For modelleringskompetencens vedkommende betyder det, at begge instanser af det sociale argument for demokratisering (jf. omtalen på side 111) er indeholdt i definitionen. “

Problemløsning og relationel læring

“Problemløsning i matematikundervisningen har et læringsmæssigt potentiale i forhold til at udvikle
elevernes relationelle forståelse af de indgående matematiske begreber. Deri ligger at problemløsning vil kunne bidrage til en langsigtet forståelse med anvendelsesmuligheder indenfor mange forskellige domæner, men også at det er en tidskrævende måde at arbejde med stoffet på.”

Samspil mellem problemløsning og modellering

“At matematisk problemløsning og matematisk modellering ofte vil være i spil samtidig, da
mange modelleringsforløb vil afstedkomme problemer undervejs, gør det ikke mindre relevant at kunne skelne mellem de udfordringer de to typer aktiviteter afstedkommer, tværtimod.
Evnen til at skelne oplever jeg som en styrke ved tilrettelæggelsen af undervisningen, både fordi man derved kan stille skarpt på, hvilke kompetencer det egentlig er man ønsker at eleverne udvikler, og fordi man i forbindelse med modelleringsaktiviteter lettere kan analysere, hvori elevernes vanskeligheder ligger.”

Et forståelsesmæssigt potentiale ved modellering

“Forståelsesmæssigt er det væsentligste potentiale ved modellering at det – praktiseret som
en proces, eleverne selv arbejder sig igennem – udvider de domæner som eleverne konstruktivt kan aktivere deres matematiske begreber indenfor. Anvendelsen af et givet matematisk begrebsapparat til at modellere en ekstra-matematisk problemstilling bidrager til, at de matematiske begreber assimileres i en række ekstra-matematiske semantiske strukturer der aktiveres i forbindelse med denne problemstilling.”

Modellering og socialkonstruktivisme

“I den socialkonstruktivistiske tilgang til matematik er der (…) store årsagsrelaterede potentialer
i at arbejde med matematisk modellering. Modelleringsarbejde understreger flere angrebsvinkler og metoder og udviklingsprocessen er ofte karakteriseret ved dynamisk samspil mellem flere aktører, og
viser dermed matematikken på en ikke-autoritær, ikke-isoleret og ikke-produktorienteret måde.”

Modellering og den individorienterede årsag

“Som jeg vurderer det er ønsket om – parallelt med en teknologisk kompetence
– at udvikle elevernes demokratiske kompetence det væsentligste karakteristikon ved ændringen gennem de sidste ca. 35 år af årsagerne til at der udbydes matematikundervisning.
Matematisk modellering i matematikundervisningen har et stort potentiale i forhold til udvikling af en sådan demokratisk kompetence.
Potentialet står og falder med at de motiverende, systematiserende og kritisk vurderende delprocesser er integrerede elementer i den samlede arbejdsproces forbundet med matematisk modellering.”

Model af den matematiske modelleringsproces

En første model af den matematiske
modelleringsproces

“I sin simplest mulige form kan den matematiske modelleringsproces siges at bestå af tre delprocesser, jf. visualiseringen i figur 6.1: 

Oversættelse af den opgave fra virkelighedens verden
som initierer modelleringsprocessen til en tilsvarende opgave fra matematikkens verden; 

analyse af denne opgave ved hjælp af de værktøjer og tænkemåder som skridtet ind i matematikkens verden har givet adgang til;

 fortolkning af den matematiske løsning så den føres tilbage til udgangspunktet i den virkelige verden.”

Definitioner på begreber

“Begrebet “matematisk modellering” bruger jeg som betegnelse for en proces hvor alle faserne i den matematiske modelleringsproces – som jeg betegner motivering, systematisering, matematisering, matematisk analyse, fortolkning og evaluering – gennemgås med henblik på at
konstruere og analysere en matematisk model.

Begrebet “matematisk problemløsning” bruger jeg som betegnelse for den proces hvorigennem man forsøger at løse et matematisk problem. Ved et matematisk problem forstår jeg en situation der involverer en række metode-åbne spørgsmål der udfordrer en eller anden intellektuelt som ikke umiddelbart er i besiddelse af direkte metoder/procedurer/algoritmer der er tilstrækkelige til at besvare spørgsmålene, og hvor de metodemæssige overvejelser involverer visse matematiske begreber, metoder og resultater.

Begrebet “kompetence” bruger jeg som betegnelse for nogens indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation.

Begrebet “matematisk modelleringskompetence” bruger jeg som betegnelse for nogens indsigtsfulde parathed til selv at gennemføre alle dele af en matematisk modelleringsproces og til at forholde sig kritisk undersøgende til andres ageren i den henseende.

Begrebet “matematisk problembehandlingskompetence” bruger jeg som betegnelse for nogens indsigtsfulde parathed til selv at formulere og løse såvel rene som anvendelsesorienterede matematiske problemer og til at forholde sig kritisk undersøgende til andres ageren i den
henseende.”

Lærerens kompetencer og ressourcer

Lærerens kompetencer og ressourcer

“Kompetenceorienteret undervisning i almindelighed og fokus på udvikling af matematisk modelleringskompetence i særdeleshed fordrer meget af læreren både pædagogisk, fagdidaktisk og fagligt.
Pædagogisk og almen didaktisk fordi det inviterer til at inddrage eleverne i mange af de centrale overvejelser vedrørende undervisningen som derfor skal være præget af en høj grad af elevstyring. Det skal på mange områder være en kollektiv udfordring at få undervisningen til at fungere efter hensigten, hvilket gør det nødvendigt for læreren at udvikle nye former for identitet og autoritet i klasserummet og at kunne indtage mange forskellige roller i forhold til eleverne (Elbow; 1979).
Fagdidaktisk fordi det at arbejde med målstyret tilrettelæggelse og evaluering af undervisning inviterer til at arbejde med mange forskellige undervisnings- og evalueringsformer alt afhængig af hvilket fagligt mål (kompetence) der er omdrejningspunktet. Når man ekspliciterer de faglige mål med undervisningen gennem faglige kompetencebeskrivelser tydeliggøres både behovet for at arbejde målstyret og for at differentiere tilrettelæggelsen og evalueringen i lyset heraf.
Fagligt fordi den brede opfattelse af faglighed som beskrivelsen ved hjælp af en “blomst” med mange forskellige kompetencer er udtryk for (jf. figur 4.1 på side 83), også udfordrer lærerens egen faglige bredde og tyngde. “

Model af den matematiske modelleringsproces

Min model af den matematiske modelleringsproces

“En af konklusionerne på denne analyse af forholdet mellem matematisk modellering og demokratisk kompetence er, at det er hensigtsmæssigt at arbejde med en mere kompleks model af den matematiske modelleringsproces, end den jeg har visualiseret i figur 6.1. Det gælder ikke mindst i
analytiske sammenhænge, hvor den overbliksgivende simpelhed i figur 6.1 fungerer som skyklapper i forhold til vigtige dele af processen.
I den righoldige litteratur der findes om brugen af matematiske modeller i sammenhæng med matematikundervisning, inddeles modelleringsprocessen alle de steder jeg er stødt på, i en række delprocesser som essentielt peger på de samme aktiviteter at gennemføre. Den faseopdeling og det
ordvalg som jeg har valgt at arbejde med (jf. Blomhøj & Jensen; 2003) og som har udgjort et værdifuldt analytisk redskab i dette projekt, er især inspireret af præsentationen i Blomhøj (1992a), Niss (1989) og Skovsmose (1990c), og er ligesom resten af dette afsnit en videreudvikling af fremstillingen i Gregersen & Jensen (1998, kap. 2).
Modellen, som er et forsøg på at indfange de centrale træk ved såvel deskriptiv som preskriptiv matematisk modellering, er i overskriftsform illustreret i figur 6.2. Udover at fremstille de forskellige delprocesser på en måde der forhåbentlig hjælper med at bevare overblikket, har jeg her også
forsøgt at “standse op” efter hver aktivitet, og vurdere hvilket niveau i modelkonstruktionen man som modellør befinder sig på. Sammenhængen mellem aktivitet og niveau er kommenteret i forbindelse med nedenstående uddybende bemærkninger til de enkelte delprocesser.”

Uddybende bemærkninger til figur 6.2

“ad Motivering: Ud fra modelbyggerens interesser og teoretiske forhåndsviden indkredses det hvad der motiverer ønsket om at konstruere en matematisk model, og det forsøges præciseret til en grad hvor det kan virke retningsgivende for resten af modelleringsprocessen. Ofte handler det om at formulere og forstå den opgave som modellen konstrueres med henblik på at udføre.
Herved fokuseres uundgåeligt på et undersøgelsesområde hvis afgrænsning er subjektiv og ofte ikke særlig skarp og bevidstgjort, men som ikke desto mindre tages som udgangspunkt for resten af modelkonstruktionen.

ad Systematisering: For at muliggøre en matematisk beskrivelse af det
valgte undersøgelsesområde reduceres dets kompleksitet, enten bevidst ud fra antagelser om hvad der er mindre betydningsfuldt for den formulerede opgaves udførelse, eller ubevidst fordi modelbyggeren ikke er klar over betydningen af et eller andet. Modelbyggerens viden om det valgte undersøgelsesområde får derfor stor betydning for hvordan systematiseringen finder sted, og en ændring i denne viden vil således forventeligt virke tilbage på systematiseringen.
Den idealisering der ligger heri, er en del af “oversættelsen” fra undersøgelsesområdet over i et matematisk univers, hvorfor modellen og undersøgelsesområdet allerede er to adskilte størrelser før den matematiske formalisme kommer ind i billedet. Det er for at pointere dette at jeg i modellen vælger at “stoppe op” ved det system, der
efterfølgende repræsenteres matematisk, jf. figur 6.2.


ad Matematisering: “Oversættelsen” videreføres, idet systemets objekter
og relationer nu forsøges oversat til matematik. De herved fremkomne matematiske objekter og relationer bør – for at være repræsentant for systemet på en måde der er fornuftig i forhold til den bagvedliggende opgave – være ledsaget af antagelser om og egenskaber for disse objekter og relationer. Produktet af disse anstrengelser er et matematisk system.
De valg der uundgåeligt må træffes som en del af oversættelsen, er begrænset af modelbyggerens matematiske kompetence. Som følge heraf, eller som følge af en utilstrækkelig systematisering der
ofte skyldes at modelbyggeren ikke tidligt i systematiseringsprocessen har gjort sig forestillinger om de matematiske muligheder (for ham/hende), vil matematiske vanskeligheder i beskrivelsen ofte føre
til yderligere idealiseringer, der virker tilbage på systembeskrivelsen. Der er altså heller ikke her et entydigt forhold mellem de to niveauer “system” og “matematisk system”, som sammen med matematiseringen danner det tripel som udgør den konstruerede matematiske model, jf. definitionen heraf på side 107.


ad Matematisk analyse: Der er i hvert fald to grunde til at man som modelbygger ofte vælger matematik som “modelsprog”.
For det første tilbyder matematik en sproglig klarhed i fremstillingen som ofte er tillokkende. Et centralt element heri er den konsistens – modsigelsesfrihed – i fremstillingsformen som matematik tilbyder, fordi den får logiske brister i argumentationen til at fremstå tydeligere end i mindre formaliserede sprog. Man kan derfor tjekke et ikke-matematisk system og konklusioner afledt heraf for konsistens ved at undersøge om det kan “overleve” en formalisering. Denne fordel opnås til dels allerede ved at opstille det matematiske system.
For det andet tilbyder matematik veje til dragning af konklusioner. Her er det afgørende at man kan belyse den oprindelige opgave ved at analysere dens matematiske fremtrædelsesform; det matematiske system. En sådan analyse kan være baseret på algebra, infinitesimalregning, computersimulering osv., men målet vil i alle tilfælde være en række modelresultater.


ad Fortolkning: Disse modelresultater skal nu fortolkes for at se om de kan kvalificere reaktionen på den oprindelige opgave i form af handling 116 Diskussion af en række centrale begrebers betydning
og/eller øget erkendelse. Denne fortolkning har to aspekter:
En intern fortolkning der vurderer om det er rimeligt at konkludere noget som helst på basis af modelresultaterne, fx ved at undersøge hvor følsomme de er overfor små ændringer i de indgående
parametre.
En ekstern fortolkning der “oversætter tilbage” fra modelresultater til udsagn om undersøgelsesområdet, og vurderer resultaterne på denne baggrund: Giver de mening i de sammenhænge de er en del af? Er de realistiske? Svarer de på det oprindelige spørgsmål? etc.


ad Evaluering: En modelleringsproces kan gennemføres med forskellige mål for øje. Det kan være en måde at løse et foreliggende problem på, det kan være et middel til at klare en rutinemæssig opgave lettere eller hurtigere end hvis andre midler tages i brug, eller motivationen kan bestå i noget helt tredje. I alle tilfælde vil det være fornuftigt at sammenholde det gennemførte modelleringsarbejde med det der motiverede det, for på denne måde at evaluere modelbygningen i sig selv: Gjorde jeg det fornuftigt? Kan jeg på nogen måde forbedre modellen? Hvad er modellens gyldighedsområde; under hvilke omstændigheder er den brugbar, og under hvilke omstændigheder er den ikke? Har matematisk modelbygning vist sig at være en fornuftig måde at arbejde med den formulerede opgave på?
At stille og forsøge at besvare spørgsmål som disse kræver – udover den førnævnte matematiske kompetence og viden om det valgte virkelighedsudsnit – viden om processen forbundet med at bygge en matematisk model som den jeg forsøger at formidle her. Ofte vil det være nødvendigt at bygge en ny eller modificeret model, og således gå skridt (a)-(f) igennem igen.”

De matematiske kompetencer. Tomas Højgaard. You Tube

Modelleringskompetencen

De matematiske kompetencer kan du høre om her.

kompetencebaseret matematikundervisningsvideoerne er udgivet af You Tube kanalen  “Kompetencebaseret matematikundervisning”.

Artiklen er publiceret med tilladelse fra Tomas Højgaard

Link til Tomas Højgaards PhD. afhandling. 2007

Hvordan kan man planlægge, tilrettelægge og gennemføre kompetenceorienteret matematikundervisning, sådan at matematiske kompetencemål bliver både meningsbærende og undervisningsbare? 

Link:

https://pure.au.dk/portal/da/publications/udvikling-af-matematisk-modelleringskompetence-som-matematikundervisningens-omdrejningspunkt(958b68b0-af32-11dd-ac07-000ea68e967b).html

Link:

https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/2051535/IMFUFA_458.pdf

Lad os skabe et læringsmiljø med en højere trivsel

Børn og læring