Uddybende bemærkninger til figur 6.2

“ad Motivering: Ud fra modelbyggerens interesser og teoretiske forhåndsviden indkredses det hvad der motiverer ønsket om at konstruere en matematisk model, og det forsøges præciseret til en grad hvor det kan virke retningsgivende for resten af modelleringsprocessen. Ofte handler det om at formulere og forstå den opgave som modellen konstrueres med henblik på at udføre.
Herved fokuseres uundgåeligt på et undersøgelsesområde hvis afgrænsning er subjektiv og ofte ikke særlig skarp og bevidstgjort, men som ikke desto mindre tages som udgangspunkt for resten af modelkonstruktionen.

ad Systematisering: For at muliggøre en matematisk beskrivelse af det
valgte undersøgelsesområde reduceres dets kompleksitet, enten bevidst ud fra antagelser om hvad der er mindre betydningsfuldt for den formulerede opgaves udførelse, eller ubevidst fordi modelbyggeren ikke er klar over betydningen af et eller andet. Modelbyggerens viden om det valgte undersøgelsesområde får derfor stor betydning for hvordan systematiseringen finder sted, og en ændring i denne viden vil således forventeligt virke tilbage på systematiseringen.
Den idealisering der ligger heri, er en del af “oversættelsen” fra undersøgelsesområdet over i et matematisk univers, hvorfor modellen og undersøgelsesområdet allerede er to adskilte størrelser før den matematiske formalisme kommer ind i billedet. Det er for at pointere dette at jeg i modellen vælger at “stoppe op” ved det system, der
efterfølgende repræsenteres matematisk, jf. figur 6.2.

ad Matematisering: “Oversættelsen” videreføres, idet systemets objekter
og relationer nu forsøges oversat til matematik. De herved fremkomne matematiske objekter og relationer bør – for at være repræsentant for systemet på en måde der er fornuftig i forhold til den bagvedliggende opgave – være ledsaget af antagelser om og egenskaber for disse objekter og relationer. Produktet af disse anstrengelser er et matematisk system.
De valg der uundgåeligt må træffes som en del af oversættelsen, er begrænset af modelbyggerens matematiske kompetence. Som følge heraf, eller som følge af en utilstrækkelig systematisering der
ofte skyldes at modelbyggeren ikke tidligt i systematiseringsprocessen har gjort sig forestillinger om de matematiske muligheder (for ham/hende), vil matematiske vanskeligheder i beskrivelsen ofte føre
til yderligere idealiseringer, der virker tilbage på systembeskrivelsen. Der er altså heller ikke her et entydigt forhold mellem de to niveauer “system” og “matematisk system”, som sammen med matematiseringen danner det tripel som udgør den konstruerede matematiske model, jf. definitionen heraf på side 107.

ad Matematisk analyse: Der er i hvert fald to grunde til at man som modelbygger ofte vælger matematik som “modelsprog”.
For det første tilbyder matematik en sproglig klarhed i fremstillingen som ofte er tillokkende. Et centralt element heri er den konsistens – modsigelsesfrihed – i fremstillingsformen som matematik tilbyder, fordi den får logiske brister i argumentationen til at fremstå tydeligere end i mindre formaliserede sprog. Man kan derfor tjekke et ikke-matematisk system og konklusioner afledt heraf for konsistens ved at undersøge om det kan “overleve” en formalisering. Denne fordel opnås til dels allerede ved at opstille det matematiske system.
For det andet tilbyder matematik veje til dragning af konklusioner. Her er det afgørende at man kan belyse den oprindelige opgave ved at analysere dens matematiske fremtrædelsesform; det matematiske system. En sådan analyse kan være baseret på algebra, infinitesimalregning, computersimulering osv., men målet vil i alle tilfælde være en række modelresultater.

ad Fortolkning: Disse modelresultater skal nu fortolkes for at se om de kan kvalificere reaktionen på den oprindelige opgave i form af handling 116 Diskussion af en række centrale begrebers betydning
og/eller øget erkendelse. Denne fortolkning har to aspekter:
En intern fortolkning der vurderer om det er rimeligt at konkludere noget som helst på basis af modelresultaterne, fx ved at undersøge hvor følsomme de er overfor små ændringer i de indgående
parametre.
En ekstern fortolkning der “oversætter tilbage” fra modelresultater til udsagn om undersøgelsesområdet, og vurderer resultaterne på denne baggrund: Giver de mening i de sammenhænge de er en del af? Er de realistiske? Svarer de på det oprindelige spørgsmål? etc.

ad Evaluering: En modelleringsproces kan gennemføres med forskellige mål for øje. Det kan være en måde at løse et foreliggende problem på, det kan være et middel til at klare en rutinemæssig opgave lettere eller hurtigere end hvis andre midler tages i brug, eller motivationen kan bestå i noget helt tredje. I alle tilfælde vil det være fornuftigt at sammenholde det gennemførte modelleringsarbejde med det der motiverede det, for på denne måde at evaluere modelbygningen i sig selv: Gjorde jeg det fornuftigt? Kan jeg på nogen måde forbedre modellen? Hvad er modellens gyldighedsområde; under hvilke omstændigheder er den brugbar, og under hvilke omstændigheder er den ikke? Har matematisk modelbygning vist sig at være en fornuftig måde at arbejde med den formulerede opgave på?
At stille og forsøge at besvare spørgsmål som disse kræver – udover den førnævnte matematiske kompetence og viden om det valgte virkelighedsudsnit – viden om processen forbundet med at bygge en matematisk model som den jeg forsøger at formidle her. Ofte vil det være nødvendigt at bygge en ny eller modificeret model, og således gå skridt (a)-(f) igennem igen.”